14. Αντιστρόφως Ανάλογα Ποσά - Γινόμενο-Πίνακας και Παράσταση με σημεία

0.1 Θεωρία: Αντιστρόφως Ανάλογα Ποσά

Ορισμός: Δύο ποσά $x$ και $y$ ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογα (ή αντίστροφα), όταν συνδέονται με τέτοια σχέση ώστε το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών τους να παραμένει σταθερό,,. Η σταθερά αυτή συμβολίζεται συνήθως με $α$ ($α \neq 0$) και η σχέση εκφράζεται ως: \[x \cdot y = α \quad \text{ή} \quad y = \frac{α}{x}\].

Βασικές Ιδιότητες: * Μεταβολή: Όταν η τιμή του ενός ποσού πολλαπλασιάζεται (ή διαιρείται) με έναν αριθμό, η αντίστοιχη τιμή του άλλου ποσού διαιρείται (ή πολλαπλασιάζεται) με τον ίδιο αριθμό. Με απλά λόγια, όσες φορές μεγαλώνει το ένα, τόσες φορές μικραίνει το άλλο.

* Γραφική Παράσταση: Τα σημεία των ζευγών $(x, y)$ βρίσκονται πάνω σε μια καμπύλη γραμμή που ονομάζεται υπερβολή.

* Δεν τέμνει ποτέ τους άξονες $x$ και $y$, καθώς οι τιμές τους δεν μπορούν να γίνουν $0$.

0.2 Λυμένες Ασκήσεις

Άσκηση 1 (Εργάτες και Χρόνος): 6 εργάτες τελειώνουν ένα έργο σε 4 ημέρες. Σε πόσες ημέρες θα τελειώσουν το ίδιο έργο 8 εργάτες της ίδιας απόδοσης;

Λύση: 1. Αναγνώριση ποσών: Τα ποσά “εργάτες” και “ημέρες” είναι αντιστρόφως ανάλογα, γιατί αν διπλασιαστούν οι εργάτες, ο χρόνος θα υποδιπλασιαστεί,.

2. Σχηματισμός εξίσωσης: Το γινόμενο των τιμών είναι σταθερό. Έστω $x$ οι ημέρες που ζητάμε: \[6 \cdot 4 = 8 \cdot x\] 3. Υπολογισμός: \[24 = 8x \Rightarrow x = 24 : 8 \Rightarrow x = 3 \text{ ημέρες.}\] Απάντηση: Οι 8 εργάτες θα χρειαστούν 3 ημέρες.

Άσκηση 2 (Ταχύτητα και Χρόνος): Ένα αυτοκίνητο με ταχύτητα $60 \text{ km/h}$ διανύει μια απόσταση σε 4 ώρες και 15 λεπτά. Με τι ταχύτητα πρέπει να τρέχει στην επιστροφή για να καλύψει την απόσταση σε 200 λεπτά;

Λύση: 1. Μετατροπή μονάδων: 4 ώρες και 15 λεπτά = $255 \text{ λεπτά}$.

2. Αναγνώριση ποσών: Τα ποσά “ταχύτητα” και “χρόνος” είναι αντιστρόφως ανάλογα.

3. Σχηματισμός εξίσωσης: \[60 \cdot 255 = x \cdot 200\] 4. Υπολογισμός: \[15300 = 200x \Rightarrow x = 15300 : 200 \Rightarrow x = 76,5 \text{ km/h.}\] Απάντηση: Πρέπει να τρέχει με $76,5 \text{ km/h}$.

Άσκηση 3 (Γεωμετρικές Διαστάσεις): Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις $4 \text{ cm}$ και $5 \text{ cm}$. Να βρείτε τις διαστάσεις ενός άλλου ορθογωνίου με το ίδιο εμβαδόν, αν οι διαστάσεις του είναι διαφορετικοί φυσικοί αριθμοί.

Λύση: 1. Υπολογισμός εμβαδού (σταθερά $α$): $Ε = 4 \cdot 5 = 20 \text{ cm}^2$.

2. Σχέση: Αν $x, y$ οι νέες διαστάσεις, τότε $x \cdot y = 20$.

3. Αναζήτηση τιμών: Ψάχνουμε ζεύγη φυσικών αριθμών με γινόμενο 20 (εκτός του 4, 5). Τα πιθανά ζεύγη είναι $(1, 20)$ και $(2, 10)$.

Απάντηση: Οι διαστάσεις μπορεί να είναι $2 \text{ cm}$ και $10 \text{ cm}$.

0.3 Άλυτες Ασκήσεις (προς εξάσκηση)

Αναδάσωση: 20 εργάτες εργάστηκαν 10 ημέρες για μια αναδάσωση. Πόσοι εργάτες ίδιας απόδοσης χρειάζονται για να τελειώσουν το έργο σε 8 ημέρες;,
Συσκευασία Προϊόντων: Τοποθετήσαμε ντομάτες σε 50 καφάσια των $12 \text{ kg}$. Πόσα καφάσια των $20 \text{ kg}$ θα χρειαστούμε για την ίδια ποσότητα;,
Δεξαμενή: Μια δεξαμενή γεμίζει από 6 βρύσες σε 10 ώρες. Πόσες ίδιες βρύσες πρέπει να προστεθούν για να γεμίσει σε μόλις 3 ώρες;
Κατανάλωση Καυσίμου: Το πετρέλαιο μιας πολυκατοικίας επαρκεί για 30 ημέρες με κατανάλωση $80 \text{ lt}$ την ημέρα. Αν η κατανάλωση αυξηθεί κατά 20%, για πόσες ημέρες θα φτάσει;
Ανθοδέσμες: Με έναν αριθμό τριαντάφυλλων φτιάχνουμε 24 ανθοδέσμες των 14 λουλουδιών. Πόσες ανθοδέσμες θα φτιάξουμε αν κάθε μία έχει 12 λουλούδια;

0.4 Θεωρία: Πίνακες Αντιστρόφως Αναλόγων Ποσών

Ορισμός: Δύο ποσά $x$ και $y$ ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογα όταν, καθώς μεταβάλλονται, το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών τους παραμένει σταθερό. Η σταθερή αυτή τιμή συμβολίζεται με $α$ ($α \neq 0$) και η σχέση τους περιγράφεται από τον τύπο: $$x \cdot y = α \quad \text{ή} \quad y = \frac{α}{x}$$.

Βασικά χαρακτηριστικά στους πίνακες τιμών:

Σταθερό Γινόμενο: Σε έναν πίνακα αντιστρόφως αναλόγων ποσών, αν πολλαπλασιάσουμε τις τιμές κάθε στήλης, πρέπει να βρίσκουμε πάντα τον ίδιο αριθμό $α$.
Αντίστροφη Μεταβολή: Όταν η τιμή του ενός ποσού πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, η αντίστοιχη τιμή του άλλου ποσού διαιρείται με τον ίδιο αριθμό.
Συμπλήρωση Πίνακα: Για να συμπληρώσουμε έναν τέτοιο πίνακα, βρίσκουμε πρώτα τη σταθερά $α$ από μια πλήρη στήλη και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον τύπο $y = \frac{α}{x}$ ή $x = \frac{a}{y}$ για τα κενά.
Γραφική Παράσταση: Τα ζεύγη τιμών $(x, y)$ ενός τέτοιου πίνακα, όταν τοποθετηθούν σε σύστημα αξόνων, σχηματίζουν μια καμπύλη που ονομάζεται υπερβολή.

0.5 Λυμένες Ασκήσεις

Άσκηση 1: Συμπλήρωση Πίνακα με βάση τη σταθερά Δίνεται ότι τα ποσά $x$ και $y$ είναι αντιστρόφως ανάλογα. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

$x$	1	2	3	4	6
$y$	6	;	;	;	;

Λύση:

Εύρεση σταθεράς $α$: Από την πρώτη στήλη έχουμε $x=1$ και $y=6$, άρα $α = 1 \cdot 6 = 6$.
Υπολογισμός κενών:
Για $x=2 \Rightarrow y = 6 : 2 = 3$ .

Για $x = 3 \Rightarrow y = 6 : 3 = 2$.

Για $x = 4 \Rightarrow y = 6 : 1,5 = 4$ (ή $y = 6 : 4 = 1,5$).

Για $x = 6 \Rightarrow y = 6 : 6 = 1$.

Ολοκληρωμένος πίνακας: (1, 6), (2, 3), (3, 2), (4, 1.5), (6, 1).

x	1	2	4	6
y	6	3	1,5	1

Άσκηση 2: Πρόβλημα Εργατών και Ημερών Ένας παραγωγός ξέρει ότι 2 εργάτες μαζεύουν την παραγωγή σε 30 ημέρες. Κατασκευάστε πίνακα για 1, 3, 4, 5 και 6 εργάτες.

Λύση:

Σταθερά $α$ : $α = 2 \cdot 30 = 60$ (συνολικές ημέρες εργασίας που απαιτούνται αν δούλευε ένας).
Πίνακας:

Εργάτες ($x$) 1 2 3 4 5 6

Ημέρες ($y$) 60 30 20 15 12 10

Εργάτες (\(x\))	1	2	3	4	5	6
Ημέρες (\(y\))	60	30	20	15	12	10

Εξήγηση: Για 3 εργάτες $60:3=20$, για 4 εργάτες $60:4=15$, κ.ο.κ..

Άσκηση 3: Έλεγχος Αντιστρόφως Αναλόγων Ποσών Εξετάστε αν ο παρακάτω πίνακας αντιστοιχεί σε αντιστρόφως ανάλογα ποσά:

$A$	1	2	3
$B$	120	60	40

Λύση: Υπολογίζουμε τα γινόμενα κάθε στήλης:

$1 \cdot 120 = 120$
$2 \cdot 60 = 120$
$3 \cdot 40 = 120$
Απάντηση: Επειδή όλα τα γινόμενα είναι ίσα με 120, τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα.

0.6 Άλυτες Ασκήσεις

Συμπλήρωση Τιμών: Αν τα ποσά $x$ και $y$ έχουν σταθερό γινόμενο $α = 24$, κατασκευάστε πίνακα τιμών για $x = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12$.
Συσκευασία Προϊόντος: Μια ποσότητα ντομάτας χωράει σε 50 καφάσια των $12 \text{ kg}$. Συμπληρώστε έναν πίνακα που να δείχνει πόσα καφάσια θα χρειαστούμε αν η χωρητικότητά τους είναι $10 \text{ kg}, 20 \text{ kg}$ ή $25 \text{ kg}$.
Γεωμετρία: Ένα ορθογώνιο έχει σταθερό εμβαδόν $144 \text{ m}^2$. Φτιάξτε έναν πίνακα με 5 πιθανά ζεύγη τιμών για τη βάση $x$ και το ύψος $y$.
Ταχύτητα και Χρόνος: Ένα αυτοκίνητο διανύει μια απόσταση $600 \text{ km}$. Κατασκευάστε πίνακα που να δείχνει τον χρόνο που χρειάζεται αν κινείται με ταχύτητες: $60, 80, 100, 120 \text{ km/h}$.
Βρύσες και Δεξαμενή: Μια δεξαμενή γεμίζει από 6 βρύσες σε 10 ώρες. Πόσες ώρες θα χρειαζόταν αν είχαμε 1, 2, 3, 5 ή 12 βρύσες; (Φτιάξτε τον αντίστοιχο πίνακα).

Η γραφική παράσταση της σχέσης δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών αποτελεί ένα από τα πιο χαρακτηριστικά σχήματα της άλγεβρας, καθώς η μορφή της διαφέρει εντελώς από την ευθεία γραμμή των αναλόγων ποσών.

0.7 Θεωρία: Η Γραφική Παράσταση της Υπερβολής

1. Ορισμός και Τύπος: Δύο ποσά $x$ και $y$ ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογα όταν το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών τους είναι σταθερό ($x \cdot y = \alpha$, όπου $\alpha \neq 0$). Η συνάρτηση που περιγράφει αυτή τη σχέση είναι η $y = \frac{\alpha}{x}$.

2. Η Μορφή της Καμπύλης:

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης ονομάζεται υπερβολή.
Αποτελείται από δύο κλάδους που είναι συμμετρικοί ως προς την αρχή των αξόνων $O(0,0)$.
Θέση κλάδων: Αν $\alpha > 0$, οι κλάδοι βρίσκονται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο. Αν $\alpha < 0$, βρίσκονται στο 2ο και 4ο τεταρτημόριο.
Ποσά στην καθημερινή ζωή: Όταν τα ποσά εκφράζουν φυσικά μεγέθη (όπως εργάτες, χρόνος, ταχύτητα), οι τιμές τους είναι πάντα θετικές ($x, y > 0$), οπότε σχεδιάζουμε μόνο τον κλάδο που βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο.

3. Βασικές Ιδιότητες:

Ασύμπτωτες: Η υπερβολή δεν τέμνει ποτέ τους άξονες $x$ και $y$, επειδή οι μεταβλητές δεν μπορούν να πάρουν την τιμή $0$ (δεν ορίζεται διαίρεση με το μηδέν).
Συμμετρία: Έχει κέντρο συμμετρίας το $O(0,0)$ και άξονες συμμετρίας τις ευθείες $y = x$ και $y = -x$.
Κατασκευή: Για τη σχεδίαση μιας καμπύλης απαιτούνται περισσότερα σημεία από ό,τι για μια ευθεία, ώστε να αποδοθεί σωστά η κλίση της.

0.8 Λυμένες Ασκήσεις

Άσκηση 1: Σχεδίαση με βάση πίνακα τιμών Δίνεται ο πίνακας αντιστρόφως αναλόγων ποσών με $x \cdot y = 8$. Να παραστήσετε τα σημεία σε σύστημα αξόνων και να χαράξετε την υπερβολή.

$x$	1	2	3	4	5	6	8
$y$	8	4	8/3=2,6667	2	8/5=1,6	1,3333	1

Λύση:

Σημεία: Ορίζουμε τα ζεύγη $(1, 8), (2, 4), (3, 8/3), (4, 2), (5, \quad1,6), (6,\quad1,3333), (8,1)$.
Τοποθέτηση: Σχεδιάζουμε τους άξονες και τοποθετούμε τα σημεία.
Χάραξη: Ενώνουμε τα σημεία με μια συνεχή καμπύλη γραμμή. Επειδή το $x \cdot y = 6 > 0$, η καμπύλη είναι ο ένας κλάδος μιας υπερβολής στο 1ο τεταρτημόριο.

Άσκηση 2: Πρόβλημα Μηχανών και Χρόνου 12 μηχανές τελειώνουν μια παραγωγή σε 15 ώρες. Αν $y$ οι μηχανές και $x$ οι ώρες, βρείτε τη σχέση τους και κάντε τη γραφική παράσταση.

Λύση:

Σταθερά $\alpha$: $12 \cdot 15 = 180$, άρα η σχέση είναι $y = \frac{180}{x}$.
Πίνακας τιμών: για $x = 3 \Rightarrow y = 60$,
για $x = 4,5 \Rightarrow y = 40$,
για $x = 9 \Rightarrow y = 20$,
Για $x = 10 \Rightarrow y = 18$,
για $x = 15 \Rightarrow y = 12$,
για $x = 18 \Rightarrow y = 10$,
για $x = 20 \Rightarrow y = 9$,
για $x = 30 \Rightarrow y = 6$,
για $x = 40 \Rightarrow y = 4,5$,
για $x = 60 \Rightarrow y = 3$,
Γραφική παράσταση: Παριστάνουμε τα σημεία $(3,60),(4,5\quad,40),(9,20),(10, 18), (15, 12), (18, 10),(20,9),(30,6),(40,\quad 4,5),(60,3)$ και χαράζουμε την καμπύλη μόνο στο 1ο τεταρτημόριο, καθώς ο αριθμός των μηχανών και των ωρών είναι πάντα θετικός αριθμός.

Άσκηση 3: Θερμοκρασία και Βάθος Σε βάθος $4 \text{ km}$ η θερμοκρασία της θάλασσας είναι $6^\circ \text{C}$. Αν τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση βάθους-θερμοκρασίας.

Λύση:

Σχέση: $4 \cdot 6 = 24$, άρα $y = \frac{24}{x}$ (όπου $y$ το βάθος και $x$ η θερμοκρασία).
Σημεία: Αν $x = 1 \Rightarrow y = 24$ Αν $x = 2 \Rightarrow y = 12$, αν $x = 6 \Rightarrow y = 4$, αν $x = 12 \Rightarrow y = 2$ Αν $x = 24 \Rightarrow y = 1$.
Χάραξη: Τοποθετούμε τα σημεία $(1,24),(2, 12), (6, 4), (12, 2),(24,1)$ και σχεδιάζουμε την καμπύλη (υπερβολή).

0.9 Άλυτες Ασκήσεις

Σταθερό Εμβαδόν: Ένα ορθογώνιο έχει σταθερό εμβαδόν $144 \text{ m}^2$. Βρείτε 5 διαφορετικά ζεύγη τιμών για τις διαστάσεις $x$ και $y$, τοποθετήστε τα σε σύστημα ημιαξόνων και ενώστε τα με μια γραμμή.
Συσκευασία Λαδιού: Ένας παραγωγός θέλει να συσκευάσει $900 \text{ lt}$ λάδι. Κατασκευάστε τη γραφική παράσταση της σχέσης “Χωρητικότητα δοχείου ($x$)” και “Αριθμός δοχείων ($y$)” χρησιμοποιώντας δοχεία $5, 10, 15$ και $20$ λίτρων.
Οικοδομικό Έργο: 8 εργάτες χρειάζονται 30 ημέρες για ένα έργο. Συμπληρώστε έναν πίνακα για $2, 4, 6, 10$ και $12$ εργάτες και σχεδιάστε την αντίστοιχη υπερβολή.
Ταχύτητα και Χρόνος: Μια απόσταση είναι $600 \text{ km}$. Σχεδιάστε την καμπύλη που συνδέει την ταχύτητα ($x$) με τον χρόνο ($y$), χρησιμοποιώντας τιμές ταχύτητας $60, 100, 120$ και $300 \text{ km/h}$.
Συμπλήρωση και Σχεδίαση: Δίνονται τα σημεία $(0.5, 3.5)$ και $(1, 1.75)$ ενός πίνακα αντιστρόφως αναλόγων ποσών. Βρείτε τη μαθηματική σχέση που τα συνδέει, βρείτε άλλα 3 σημεία και σχεδιάστε την υπερβολή.